第170章 加权筛法，证明1＋2！
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敢想，三楼。
在孙振河的桌子上，摆了一堆书籍。
除了班主任要求的《堆垒素数论》、《悠扬的素数》、《莫怀荣：1+3证明讲解》之外，孙振河在学习探索的同时，也找了更多相关的书籍。
《数论导引》、《解析数论导引》、《筛法》、《数论中的三角和方法》、《筛法与哥德巴赫猜想》等等。
这些书，他已经吃透的差不多了。
前些天，师父将大题的思路讲了一遍，当时他不理解，甚至觉得，班主任一教体育的，懂什么数学。
但随着研究的深入，他隐隐察觉，师父指的路，是对的。
但即使指明了道路，怎么走通，仍然是个很大的问题。
甚至，担心会不会，走着走着把之前的一切方法推翻。
这样的例子，在整个科学上屡见不鲜。
上个世纪初，物理学家们因为牛顿力学的最后一点小瑕疵，建造出来量子力学、广义相对论两座大山，把牛顿力学挤压到了角落里。
他不能太依赖所谓的权威。
孙振河一遍遍地推倒公式，递进方程。
把布朗筛法、圆法等思路，用在证明“1+2”的思路上。
一次次被卡住。
但是，每次都有新的收获。
直到昨天，终于感受到，他对1+2的理解，来到了一个新的台阶，证明，已经近在咫尺。
但他也明白，这最后的一步，
往往最难。
诚如张坤所言，很多时候，这不起眼的一小步，可能就是几十年。
从证明了“1+3”到现在，过去了这么多年，不依旧没能证明“1+2”吗？
但他等不了那么久。
如果他能证明此式，可以圆了师父了梦想，还了知遇之恩。
也可以让父母复婚，破镜重圆，让家庭恢复以前的幸福。
不过。
数学毕竟是数学，冷酷，孤傲，不会因为一个人的悲惨经历而去怜悯他。
孙振河一次次的铩羽而归。
“或许，现在只是一个错觉。”
他想到，许多比他更聪明的人，早他多少年，来到了此处。
只是再也前进不了一步。
他区区一个高中生，又何德何能能够……
孙振河甩了甩脑袋，把退堂鼓甩至脑后。
把稿纸拿起来。
盯着书上的方法发了一会呆。
“再打磨一遍圆法吧…”
圆法，证明了弱哥猜的方法，拿它演练一遍强哥猜，看看能不能和布朗筛法结合起来。
孙振河捏起笔，刷刷地写写画画。
很快。
再次停住。
不行。
“还是不行。”
孙振河抱了抱脑袋，他不想放弃，但是，这个证明真的太难了！
正在这时，孙振河再次感受到一股神清目明的清凉。
大脑前所未有的清明。
脑海里的那些公式，像是活过来一般，一个个地飘在眼前。
他不知道，陈一航启动了智力潮汐，把自己75点智力的10%，转嫁到他身上，他此刻的智力已经从86，来到了惊人的93.5。
再看书籍上的公式，孙振河有种得心应手的亲切感。
思路极其活跃，领悟力达到了不能理解的水平。
这种体验，简直不要太爽。
“这……”
他知道自己进入到一种玄而又玄的状态，不及多去感慨。
赶忙再次把草稿纸拿出来。
从头开始演练，1+2证明过程。
每一个充分大的偶数，都可以表示为一个素数和一个不超过两个素因数的乘积之和。
“布朗筛法，圆法…不行，还是不行。前面已经没路了。”
“需要构造一款新的工具才行…”
怎么构建？！
将表示偶数 N为两个奇素数之和的表法个数 r(N)表示为积分：
r(N) = ∫?1 S(a, N)2 e(-Na) da
其中 S(a, N) = Σ_{p ≤ N} e(pa)是素数的三角和 (p`为素数, e(x) = e^{2πix})
圆法及其变体，行不通。
但…
可以做…加权改造？
是了！
加权筛法。
哈代和李特尔伍德的思路在偶数证明不成立，但可以籍此证明对于奇数 N，存在无穷多个素数 p使得 N - p是殆素数！
布伦筛法给出上界筛和下界筛函数！
塞尔伯格筛法给出上界估计方法！
加权！
“不能简单地筛出素数，而是通过权重函数，筛出那些使得 N - p的素因数个数，不超过2的素数 p！”
“而这个权重函数要实现的功能是…”
“当 N - p 是素数时，赋予较大的正权重。”
“当 N - p恰好有两个素因数时，赋予较小的正权重。”
“当 N - p 有三个或更多素因数时，赋予零或负权重，筛掉这部分…”
要实现这个目标，他要构造一个加权和：
Σ{p | N - p} ... w(d)
（其中 d 是 N - p的因子，w(d)是权重函数）
孙振河豁然开朗。
拿起笔继续书写。
三楼寂静无声，只有笔墨划过纸张的沙沙声。
勾勒出加权筛法公式，下一步就是优化和证明。
素数定理π(x) ~ x \/ ln x…
切比雪夫不等式…
默滕斯定理…
维诺格拉多夫定理…
没多久，那种玄妙的感觉消失了。
孙振河只是略微一愣。
马上继续埋头在稿纸上。
他已经构造除了加权筛法工具，最难的环节已经走通，接下来，只剩下了证明和机械运算。
“在应用圆法时，需要将单位区间分成主区间（优弧）和余区间（劣弧），在包含所有有理数 a\/q (q 较小) 的优弧上，S(a, N)可以用 Siegel-walfisz 定理……”
“ 在劣弧上，需要证明 |S(a, N)|相对于主项很小。可以利用韦伊估计来获得三角和的非平凡上界……”
孙振河完全沉浸在数学的世界里，浑然没有注意到日光暗淡下去，窗外的路灯照射进来。
也没有注意到，陈一航走了进来，打开了灯。
他身旁的稿纸，一张又一张的堆落，堆成了一座小山。
一直到写完最后一个公式。
他才醒悟过来。
大吼了一声：“嗷呜~”
爽！
伸了个懒腰，抬起头看了看，窗外天色大亮。
“没想到，证明完，还没天黑呢！”
楼梯口。
陈一航走了上来。
“什么没天黑？这是下一个天亮！”
“你做了一晚上了。”
孙振河后知后觉，挠挠头道：“这么久吗？”
下一个天亮…
他马上想到一点，笑了出来，“师父，我做到了！”
陈一航上前抱住他：“好样的！”
在师父的温暖怀抱中，孙振河喜极而泣。
他知道…
他的世界，天要亮了。
在孙振河的桌子上，摆了一堆书籍。
除了班主任要求的《堆垒素数论》、《悠扬的素数》、《莫怀荣：1+3证明讲解》之外，孙振河在学习探索的同时，也找了更多相关的书籍。
《数论导引》、《解析数论导引》、《筛法》、《数论中的三角和方法》、《筛法与哥德巴赫猜想》等等。
这些书，他已经吃透的差不多了。
前些天，师父将大题的思路讲了一遍，当时他不理解，甚至觉得，班主任一教体育的，懂什么数学。
但随着研究的深入，他隐隐察觉，师父指的路，是对的。
但即使指明了道路，怎么走通，仍然是个很大的问题。
甚至，担心会不会，走着走着把之前的一切方法推翻。
这样的例子，在整个科学上屡见不鲜。
上个世纪初，物理学家们因为牛顿力学的最后一点小瑕疵，建造出来量子力学、广义相对论两座大山，把牛顿力学挤压到了角落里。
他不能太依赖所谓的权威。
孙振河一遍遍地推倒公式，递进方程。
把布朗筛法、圆法等思路，用在证明“1+2”的思路上。
一次次被卡住。
但是，每次都有新的收获。
直到昨天，终于感受到，他对1+2的理解，来到了一个新的台阶，证明，已经近在咫尺。
但他也明白，这最后的一步，
往往最难。
诚如张坤所言，很多时候，这不起眼的一小步，可能就是几十年。
从证明了“1+3”到现在，过去了这么多年，不依旧没能证明“1+2”吗？
但他等不了那么久。
如果他能证明此式，可以圆了师父了梦想，还了知遇之恩。
也可以让父母复婚，破镜重圆，让家庭恢复以前的幸福。
不过。
数学毕竟是数学，冷酷，孤傲，不会因为一个人的悲惨经历而去怜悯他。
孙振河一次次的铩羽而归。
“或许，现在只是一个错觉。”
他想到，许多比他更聪明的人，早他多少年，来到了此处。
只是再也前进不了一步。
他区区一个高中生，又何德何能能够……
孙振河甩了甩脑袋，把退堂鼓甩至脑后。
把稿纸拿起来。
盯着书上的方法发了一会呆。
“再打磨一遍圆法吧…”
圆法，证明了弱哥猜的方法，拿它演练一遍强哥猜，看看能不能和布朗筛法结合起来。
孙振河捏起笔，刷刷地写写画画。
很快。
再次停住。
不行。
“还是不行。”
孙振河抱了抱脑袋，他不想放弃，但是，这个证明真的太难了！
正在这时，孙振河再次感受到一股神清目明的清凉。
大脑前所未有的清明。
脑海里的那些公式，像是活过来一般，一个个地飘在眼前。
他不知道，陈一航启动了智力潮汐，把自己75点智力的10%，转嫁到他身上，他此刻的智力已经从86，来到了惊人的93.5。
再看书籍上的公式，孙振河有种得心应手的亲切感。
思路极其活跃，领悟力达到了不能理解的水平。
这种体验，简直不要太爽。
“这……”
他知道自己进入到一种玄而又玄的状态，不及多去感慨。
赶忙再次把草稿纸拿出来。
从头开始演练，1+2证明过程。
每一个充分大的偶数，都可以表示为一个素数和一个不超过两个素因数的乘积之和。
“布朗筛法，圆法…不行，还是不行。前面已经没路了。”
“需要构造一款新的工具才行…”
怎么构建？！
将表示偶数 N为两个奇素数之和的表法个数 r(N)表示为积分：
r(N) = ∫?1 S(a, N)2 e(-Na) da
其中 S(a, N) = Σ_{p ≤ N} e(pa)是素数的三角和 (p`为素数, e(x) = e^{2πix})
圆法及其变体，行不通。
但…
可以做…加权改造？
是了！
加权筛法。
哈代和李特尔伍德的思路在偶数证明不成立，但可以籍此证明对于奇数 N，存在无穷多个素数 p使得 N - p是殆素数！
布伦筛法给出上界筛和下界筛函数！
塞尔伯格筛法给出上界估计方法！
加权！
“不能简单地筛出素数，而是通过权重函数，筛出那些使得 N - p的素因数个数，不超过2的素数 p！”
“而这个权重函数要实现的功能是…”
“当 N - p 是素数时，赋予较大的正权重。”
“当 N - p恰好有两个素因数时，赋予较小的正权重。”
“当 N - p 有三个或更多素因数时，赋予零或负权重，筛掉这部分…”
要实现这个目标，他要构造一个加权和：
Σ{p | N - p} ... w(d)
（其中 d 是 N - p的因子，w(d)是权重函数）
孙振河豁然开朗。
拿起笔继续书写。
三楼寂静无声，只有笔墨划过纸张的沙沙声。
勾勒出加权筛法公式，下一步就是优化和证明。
素数定理π(x) ~ x \/ ln x…
切比雪夫不等式…
默滕斯定理…
维诺格拉多夫定理…
没多久，那种玄妙的感觉消失了。
孙振河只是略微一愣。
马上继续埋头在稿纸上。
他已经构造除了加权筛法工具，最难的环节已经走通，接下来，只剩下了证明和机械运算。
“在应用圆法时，需要将单位区间分成主区间（优弧）和余区间（劣弧），在包含所有有理数 a\/q (q 较小) 的优弧上，S(a, N)可以用 Siegel-walfisz 定理……”
“ 在劣弧上，需要证明 |S(a, N)|相对于主项很小。可以利用韦伊估计来获得三角和的非平凡上界……”
孙振河完全沉浸在数学的世界里，浑然没有注意到日光暗淡下去，窗外的路灯照射进来。
也没有注意到，陈一航走了进来，打开了灯。
他身旁的稿纸，一张又一张的堆落，堆成了一座小山。
一直到写完最后一个公式。
他才醒悟过来。
大吼了一声：“嗷呜~”
爽！
伸了个懒腰，抬起头看了看，窗外天色大亮。
“没想到，证明完，还没天黑呢！”
楼梯口。
陈一航走了上来。
“什么没天黑？这是下一个天亮！”
“你做了一晚上了。”
孙振河后知后觉，挠挠头道：“这么久吗？”
下一个天亮…
他马上想到一点，笑了出来，“师父，我做到了！”
陈一航上前抱住他：“好样的！”
在师父的温暖怀抱中，孙振河喜极而泣。
他知道…
他的世界，天要亮了。